Eine kleine Matheaufgabe

CashPhlow · 24.03.2012

Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, wie der Titel schon vermuten lässt.
Und zwar geht es darum, die Extremwerte, Extremstellen und die Art der Extremstelle zu bestimmen, das ist alles kein Problem, aber nun ist diese Funktion gegeben

z=f(x;y)= 2x^3 + 4xy - 2y^3

Zunächst leitet man nach x und y ab und anschließend löst man das Gleichungssystem.

nach x: fx(x;y) = 6x^2 + 4y = o
nach y: fy(x:y) = 4x - 6y^2 = 0

Was mir aber jetzt Schwierigkeiten bereitet ist, dass BEIDE Ableitungen quadratisch sind und ich somit nicht weiß, wie ich x beziehungsweise y ermitteln soll. Wüsste ich das, könnte ich auch die restliche Aufgabe lösen, was mir normalerweise nicht schwer fällt. Ich habe auch an das Einsetzungsverfahren gedacht, aber das geht irgendwie auch nicht auf.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand, erklären könnte, wie man hier nun weiter vorgeht, denn bis hierhin stimmt ja alles.

Danke im Voraus!

Kimmel · 24.03.2012

Ich gehe mal davon aus, dass das, was du machst richtig ist (partielle Ableitung habe ich bisher noch nicht gelernt.)

Wenn es nur darum geht, das Gleichungssystem zu lösen:

Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze diese dann in die andere ein. Zum Beispiel kannst du die erste Gleichung nach y auflösen und diese dann in die zweite Gleichung einsetzen.

CashPhlow · 24.03.2012

Kimmel

Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze diese dann in die andere ein. Zum Beispiel kannst du die erste Gleichung nach y auflösen und diese dann in die zweite Gleichung einsetzen.

Genau, ich weiß zwar, dass man so vorgehen muss und das habe ich auch versucht, aber dabei kommt Folgendes raus:

4x - 6y^2 = 0
4x = 6y^2
x = 6/4y^2

Nun setze ich 6/4y^2 in die erste Gleichung für x ein:

6*(6/4y^2)^2 + 4y = 0

Jetzt müsste ich das Ganze noch auflösen, aber man rechnet ja dabei erst 6/4y^2 * 6/4y^2 und bekommt 36/16 y^4
also 2 4/16 y^4 raus. Oder geht man anders vor? Vielleicht indem man etwas ausklammert? Jedenfalls kann das ja so nicht hinkommen.

Kimmel · 24.03.2012

Kürze deine Brüche vorher, bevor du damit weiterrechnest. Kann manchmal nützlich sein.

Ja, Ausklammern ist eine gute Idee.

Da kommen aber ziemlich komische Zahlen raus...
Kann sein, dass ich mich verrechnet habe.

Auf jeden Fall solltest du das mal ein bisschen alleine rumprobieren.

CashPhlow · 24.03.2012

Kimmel

Kürze deine Brüche vorher, bevor du damit weiterrechnest. Kann manchmal nützlich sein.

Ja, Ausklammern ist eine gute Idee.

Da kommen aber ziemlich komische Zahlen raus...
Kann sein, dass ich mich verrechnet habe.

Auf jeden Fall solltest du das mal ein bisschen alleine rumprobieren.

Danke für deinen Beitrag. Ich habe das auch mal ausprobiert und komme auf das gleiche Ergebnis. Ich glaube, dass es einfacher gehen muss, denn jetzt hat man plötzlich eine Gleichung dritten bzw. vierten Grades. Ich weiß nicht, was ich noch versuchen soll, weil ich irgendwie schon alles ausprobiert habe. Könnte man hier auch die Pq-Formel anwenden? Das Problem ist, dass es in einer Gleichung ein x und auch y gibt.

Kimmel · 24.03.2012

CashPhlow

Danke für deinen Beitrag. Ich habe das auch mal ausprobiert und komme auf das gleiche Ergebnis. Ich glaube, dass es einfacher gehen muss, denn jetzt hat man plötzlich eine Gleichung dritten bzw. vierten Grades.

Na ja, immerhin wäre das ein Weg.

Zitat

Das wäre zu umständlich. Nichtsdestotrotz hängt immernoch eine Variable von der anderen ab.

Ob es einen einfacheren Lösungsweg gibt, weiß ich nicht, da ich das Thema wie gesagt bisher noch nicht behandelt habe.
Spontan fällt mir momentan nichts ein.

CashPhlow · 24.03.2012

Danke trotzdem für deine schnellen Beiträge und Ansätze, ich versuche mal weiter, diese Aufgabe zu lösen.
Vielleicht weiß hier jemand, wie man hier am Besten vorgeht.

OmegaPirat · 25.03.2012

@Kimmel

Die Gleichung muss aber
y(27/2*y³+4)=0 heißen

Damit erhalte ich dann als Lösungen
x=y=0
und
x=2/3; y=-2/3

Kimmel · 25.03.2012

Ach herrje, du hast Recht.

Falsch abgeschrieben...

OmegaPirat · 25.03.2012

Man kann übrigens die Lösung des Gleichungssystem auch direkt sehen. Das system ist vom Typ

x²+ay=0
y²-ax=0

Daran sieht man sofort, dass x=-y. Die zweite gleichung geht nämlich aus der ersten gleichung hervor, wenn man die variablen x und y vertauscht und das vorzeichen spiegelt.
Dann gehen beide gleichungen in die gleichungen x²-ax=0 und y²+ay=0 über
damit ist schonmal entweder x=y=0
oder x-a=0 und y+a=0
bzw.
x=a und y=-a
in diesem fall ist a=2/3

CashPhlow · 25.03.2012

OmegaPirat

Die Gleichung muss aber
y(27/2*y³+4)=0 heißen

Damit erhalte ich dann als Lösungen
x=y=0
und
x=2/3; y=-2/3

Danke für die Beiträge. Die Lösungen stimmen, aber ich weiß nicht, wie ich darauf kommen soll.
Wie man auf y(27/2*y³+4)=0 kommt, ist mir klar, aber wie bist du dann weiter vorgegangen? Leider habe ich das Problem, dass ich die Lösungen nicht sofort sehen kann.

OmegaPirat · 25.03.2012

Die Gleichung besteht doch aus einem Produkt von zwei Faktoren. So ein Produkt wird genau dann null, wenn mindestens einer der beiden faktoren null ist. Also entweder ist y=0 oder 27/2*y³+4=0
letzteres musst du nur noch nach y auflösen. Die x-werte erhälst du, wenn du die y-werte in das gleichungssystem einsetzt.

Dieser Aufwand muss aber eigentlich nicht betrieben werden, da sich beide gleichungen kaum voneinander unterscheiden und man sie eben durch x=-y ineinander überführen kann, was man sofort sieht.

CashPhlow · 25.03.2012

Danke, jetzt weiß ich, dass ich bis zu diesem Schritt alles richtig gemacht habe. Wie löst man aber genau y(27/2*y³+4)=0 bzw. 27/2*y³+4=0 nach y auf, damit man auf -2/3 kommt?

Kimmel · 25.03.2012

CashPhlow

Danke, jetzt weiß ich, dass ich bis zu diesem Schritt alles richtig gemacht habe. Wie löst man aber genau y(27/2*y³+4)=0 nach y auf, damit man auf -2/3 kommt?

Wie OmegaPirat bereits gesagt hat:

OmegaPirat

ein Produkt wird genau dann null, wenn mindestens einer der beiden faktoren null ist

In diesem Fall setzt du den zweiten Faktor gleich 0:

CashPhlow · 25.03.2012

Kimmel

In diesem Fall setzt du den zweiten Faktor gleich 0:

Okay soweit alles klar, kannst du mir nur noch sagen, wie ich y^3 = -8/27 so auflöse, dass y alleine steht, ohne dieses hoch 3? Dann ist eigentlich alles geklärt, danke!

Kimmel · 25.03.2012

CashPhlow

Okay soweit alles klar, kannst du mir nur noch sagen, wie ich y^3 = -8/27 so auflöse, dass y alleine steht, ohne dieses hoch 3? Dann ist eigentlich alles geklärt, danke!

Was du im Prinzip machst, ist "die dritte Wurzel ziehen" (Eigentlich ist das falsch, was ich da sage, aber so kann man es vllt. besser nachvollziehen. Richtig wäre es: Welches y gibt -8/27 aus, wenn man y hoch 3 nimmt?)

CashPhlow · 25.03.2012

Ich danke dir, für die letzte Erklärung, jetzt bin in der Lage, die komplette Aufgabe zu lösen und vor allem zu verstehen^^

OmegaPirat · 25.03.2012

Kimmel

Was du im Prinzip machst, ist "die dritte Wurzel ziehen" (Eigentlich ist das falsch, was ich da sage, aber so kann man es vllt. besser nachvollziehen. Richtig wäre es: Welches y gibt -8/27 aus, wenn man y hoch 3 nimmt?)

Wieso ist die Aussage "man zieht die dritte wurzel" streng genommen falsch? Die dritte Wurzel ist genau als die Rechenoperation definiert, welche einer zahl a eine zahl b zuordnet, so dass a=b³.
Ich finde es nur grad komisch, dass die partielle Ableitung einer funktion zweier unabhängiger Variablen gebildet werden kann, beim Wurzel ziehen es aber zu Problemen kommt. Das wäre so als würde man Prozentrechnungen machen ohne die Grundrechenarten zu können.

Kimmel · 26.03.2012

Okay, falsch war vielleicht das falsche Wort.

Das Wurzelziehen von negativen Zahlen ist immer so eine schwierige Sache, vllt. gerade weil das im Komplexen komplexer wird (man verzeihe mir das Wortspiel). Da existieren, wie du sicherlich schon weißt, 3 Lösungen. Das Wurzelziehen in diesem Fall gibt aber nur eine Lösung wieder. Daher bin ich immer sehr vorsichtig was das angeht und vermeide hier das Wurzelziehen und schreibe stattdessen die dritte Potenz.

Gut, da wir hier im reellen Körper sind (zumindest gehe ich davon aus), ist das wahrscheinlich kein großes Problem, da hast du schon recht.

OmegaPirat · 26.03.2012

Kimmel

Okay, falsch war vielleicht das falsche Wort.

Das Wurzelziehen von negativen Zahlen ist immer so eine schwierige Sache, vllt. gerade weil das im Komplexen komplexer wird (man verzeihe mir das Wortspiel). Da existieren, wie du sicherlich schon weißt, 3 Lösungen. Das Wurzelziehen in diesem Fall gibt aber nur eine Lösung wieder. Daher bin ich immer sehr vorsichtig was das angeht und vermeide hier das Wurzelziehen und schreibe stattdessen die dritte Potenz.

Gut, da wir hier im reellen Körper sind (zumindest gehe ich davon aus), ist das wahrscheinlich kein großes Problem, da hast du schon recht.

Nunja es macht aber keinen Unterschied ob du fragst was die dritte wurzel aus -8/27 ist oder welche zahl dreimal mit sich selbst multipliziert -8/27 ist. In beiden fällen gibt es im komplexen drei lösungen, nämlich -2/3, 1/3*wurzel(3)i+1/3 und -1/3*Wurzel(3)i+1/3.
z.B. ergibt 1/3*Wurzel(3)i+1/3 dreimal mit sich selbst multipliziert -8/27
Ich könnte fragen "Welches y gibt -8/27 aus, wenn man y hoch 3 nimmt?" und eine mögliche Antwort wäre eben die komplexe zahl 1/3*Wurzel(3)i+1/3
Und die quadratwurzel aus einer negativen Zahl geht auch im bereich der komplexen zahlen nicht, so ist i²=-1, woraus aber nicht i=Wurzel(-1) folgt.
Man kann z.B. den zweidimensionalen komplexen zahlenkörper auf einen vierdimensionalen körper verallgemeinern. deren elemente sind darstellbar durch q=a+bi+cj+dk. es treten drei unterschiedliche imaginäre einheiten auf für die gilt i²=j²=k²=-1. folgt daraus i=j=k=Wurzel(-1)? falls ja wären diese sogenannten quaternionen nichts anderes als komplexe zahlen.
Bei wurzeln mit ungeradem wurzelexponenten bereitet das wurzel ziehen aus einer negativen reellen zahl hingegen keine probleme. jedenfalls nicht mehr probleme als die wurzel aus einer positiven reellen zahl.

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