Thema: Wendepunkt/Sattelpunkt
Klicke hier, um dich anzumelden
Send Trackbacks to (Separate multiple URLs with spaces)
Du kannst aus dieser Liste ein Symbol für deine Nachricht auswählen.
Wenn du diese Option aktivierst, werden URLs automatisch mit BB-Code ergänzt. www.beispiel.de wird zu [URL]http://www.beispiel.de[/URL].
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Blizzard_Black Sinusableitungen sind bei mir nur in der Schule vorgekommen und da das letzte mal vor gut einem Jahr . Aber geht das dort nicht, dass ich jeweils hier bei 2/(39999*pi) einfach +0,1 und -0,1 dranhängt und dann ausrechne? Was kommen dann für Werte raus? Du bist bei uns der Mathematiker, probiers mal aus - oder hast dus schon ausprobiert? Wäre für ne Lösung hierfür dankbar, man lernt ja nie aus . Allgemein reicht es allerdings für den haushaltsüblichen Schulgebrauch durchaus aus, diese Methode. Allein der Extremwert hierfür lässt mich ja irgendwie schon erkennen, dass es nicht ganz einfach sein dürfte, hier die Extremstelle herauszufinden . Der Knackpunkt ist, dass hier die maxima und minima in der nähe von null sehr dicht beieinander liegen. im intervall (0; 0,1] liegen unendlich viele extremstellen. rechnen wir aber einfach mal. Es ist f(x)=sin(1/x) die ableitung ergibt sich zu f'(x)=-1/x²*cos(1/x) null setzen ergibt -1/x²*cos(1/x)=0 => cos(1/x)=0 an allen stellen x für die cos(1/x)=0 liegt also eine extremstelle vor. zum beispiel gilt cos(pi/2)=0. also liegt eine extremstelle bei 1/x=pi/2 bzw x=2/pi vor ebenso gilt auch cos(pi/2*39999)=0 also 1/x=pi/2*39999 bzw. x=2/(pi*39999) jetzt betrachte ich die ableitung f'(x)=-cos(1/x)/x² x² ist ohnehin positiv, wenn ich was für x einsetze. also muss ich nur in -cos(1/x) einsetzen geh ich von 2/(pi*39999) um 0,1 nach rechts erhalte ich cos(1/( 2/(pi*39999)+0,1))=0,089...>0 (also positiv) geh ich um 0,1 nach links, erhalte ich cos(1/( 2/(pi*39999)-0,1))=0,83...>0, (also auch positiv) ist es also ein sattelpunkt? nein, es ist ein minimum. im intervall [2/(pi*39999)-0,1, 2/(pi*39999)+0,1] wechseln sich unzählig viele minima und maxima ab (es sind unendlich viele). du müsstest also das intervall viel kleiner wählen, woher weißt du aber wie klein du es wählen musst? das kann man rausfinden, aber der rechenaufwand ist dann viel größer als wenn du die zweite ableitung bilden würdest. Bei von dir besagter Methoden müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein a) Die Funktion muss im gewählten intervall überall stetig und differenzierbar sein b) Das Intervall muss so klein gewählt werden, dass an keiner weiteren stelle innerhalb des Intervalls f'(x)=0 gilt. Sind diese Voraussetzungen gegeben, kann man guten gewissens diese Methode verwenden. Hier sieht man nochmal die funktion f(x)=sin(1/x) gezeichnet. dort siehst du wie dicht die minima und maxima in der nähe von x=0 aneinander liegen. http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%281%2Fx%29
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt
Blizzard_Black Sinusableitungen sind bei mir nur in der Schule vorgekommen und da das letzte mal vor gut einem Jahr . Aber geht das dort nicht, dass ich jeweils hier bei 2/(39999*pi) einfach +0,1 und -0,1 dranhängt und dann ausrechne? Was kommen dann für Werte raus? Du bist bei uns der Mathematiker, probiers mal aus - oder hast dus schon ausprobiert? Wäre für ne Lösung hierfür dankbar, man lernt ja nie aus . Allgemein reicht es allerdings für den haushaltsüblichen Schulgebrauch durchaus aus, diese Methode. Allein der Extremwert hierfür lässt mich ja irgendwie schon erkennen, dass es nicht ganz einfach sein dürfte, hier die Extremstelle herauszufinden .
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt OmegaPirat ok. die ableitung, welche hook schon gebildet hat, hat bei x=1 eine nullstelle. Handelt es sich dort um ein Maximum, Minimum oder um einen Sattelpunkt? @Blizzard_Black Deine Methode funktioniert auch nicht immer gut. Beispiel: f(x)=sin(1/x) Diese Funktion besitzt bei x=2/(39999*pi) eine extremstelle. Von welchem typ ist sie? Sinusableitungen sind bei mir nur in der Schule vorgekommen und da das letzte mal vor gut einem Jahr . Aber geht das dort nicht, dass ich jeweils hier bei 2/(39999*pi) einfach +0,1 und -0,1 dranhängt und dann ausrechne? Was kommen dann für Werte raus? Du bist bei uns der Mathematiker, probiers mal aus - oder hast dus schon ausprobiert? Wäre für ne Lösung hierfür dankbar, man lernt ja nie aus . Allgemein reicht es allerdings für den haushaltsüblichen Schulgebrauch durchaus aus, diese Methode. Allein der Extremwert hierfür lässt mich ja irgendwie schon erkennen, dass es nicht ganz einfach sein dürfte, hier die Extremstelle herauszufinden .
OmegaPirat ok. die ableitung, welche hook schon gebildet hat, hat bei x=1 eine nullstelle. Handelt es sich dort um ein Maximum, Minimum oder um einen Sattelpunkt? @Blizzard_Black Deine Methode funktioniert auch nicht immer gut. Beispiel: f(x)=sin(1/x) Diese Funktion besitzt bei x=2/(39999*pi) eine extremstelle. Von welchem typ ist sie?
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt ok. die ableitung, welche hook schon gebildet hat, hat bei x=1 eine nullstelle. Handelt es sich dort um ein Maximum, Minimum oder um einen Sattelpunkt? @Blizzard_Black Deine Methode funktioniert auch nicht immer gut. Beispiel: f(x)=sin(1/x) Diese Funktion besitzt bei x=2/(39999*pi) eine extremstelle. Von welchem typ ist sie?
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Kommt halt immer auf die Funktion an. War mitunter auch der Grund,warum ich hingeschrieben hab,wenn Krümmungsverhalten und Wendepunkt nicht verlangt war. Und selbst wenn es verlangt war,hab ich's auf diese weise ausgerechnet,weils ne einfache Methode war das herauszufinden. Dann musst man sich nicht ständig irgendwelche Formeln merken,wann es ein sattelpunkt,terassenpunkt oder Wendepunkt ist . Weil wenn der Teil abgehakt ist,braucht man sich nur noch um den Wendepunkt kümmern. Und der ist bei f''(x)=0. Und Krümmungsverhalten lässt sich dann auch wieder mit der Methode rausfinden,außer es ist sowieso offensichtlich wie bei x^2
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Käptn Hook Das wird bei gebrochen rationalen Funktionen sehr schnell sehr witzig. Wie gesagt, grundlegendes Anforderungsniveau. Der Lehrer meinte, dass die das schon so machen werden, dass man nicht allzu viel Zeit mit dem Ableiten von Funktionen verschwendet, wenn das nicht explizit gefragt wird.
Käptn Hook Das wird bei gebrochen rationalen Funktionen sehr schnell sehr witzig.
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Big ? Und hey, so aufwendig ist das nicht. Das wird bei gebrochen rationalen Funktionen sehr schnell sehr witzig.
Big ? Und hey, so aufwendig ist das nicht.
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Wir haben übrigens einen TC und den dürfen wir in der Abi-Klausur verwenden und damit auch Funktionen wie F(X)=0 ausrechnen, ohne dass wir den Lösungsweg angeben müssen. Blizzard_Black Zur Bestimmung eines hoch-, tief-, oder terassenpunkts (sattelpunkt bei euch) haben wir NIE die zweite ableitung dafür benutzt. Das ging anders mit der ersten Ableitung wesentlich einfacher,indem man geschaut hat,wie f'(x) bei einem x-Wert knapp rechts und knapp links vom Nullpunkt reagiert. Ist der x-Wert links vom Nullpunkt der ersten Ableitung kleiner Null und nach der ersten Ableitung größer Null,handelt es sich um einen Tiefpunkt. (bildlich gesprochen fällt der Graf zuerst und steigt danach,weil die erste Ableitung die Steigung angibt). Wenn es andersrum ist handelt es sich um einen hochpumpt (also erst über Null,dann unter Null) und wenn beide Vorzeichen gleich sind handelt es sich um einen terassenpunkt. Das Einzige was du dann noch beachten musst,ist,dass die nullstellen auch definiert sind. Ist doch unterm Strich viel einfacher,als nochmal ne ellenlange zweite Ableitung herauszuriechen,wenn gar nicht für Wendepunkt oder Krümmungsverhalten benötigt Wenn wir wissen wollen, ob es sich bei dem Extrempunkt um ein Hoch- oder Tiefpunkt handelt, haben wir's genau so gemacht. Da aber in der Aufgabe so ziemlich IMMER auch nach dem Wendepunkt gefragt wird lohnt es sich dann doch die 2. Ableitung zu bilden. Und hey, so aufwendig ist das nicht.
Blizzard_Black Zur Bestimmung eines hoch-, tief-, oder terassenpunkts (sattelpunkt bei euch) haben wir NIE die zweite ableitung dafür benutzt. Das ging anders mit der ersten Ableitung wesentlich einfacher,indem man geschaut hat,wie f'(x) bei einem x-Wert knapp rechts und knapp links vom Nullpunkt reagiert. Ist der x-Wert links vom Nullpunkt der ersten Ableitung kleiner Null und nach der ersten Ableitung größer Null,handelt es sich um einen Tiefpunkt. (bildlich gesprochen fällt der Graf zuerst und steigt danach,weil die erste Ableitung die Steigung angibt). Wenn es andersrum ist handelt es sich um einen hochpumpt (also erst über Null,dann unter Null) und wenn beide Vorzeichen gleich sind handelt es sich um einen terassenpunkt. Das Einzige was du dann noch beachten musst,ist,dass die nullstellen auch definiert sind. Ist doch unterm Strich viel einfacher,als nochmal ne ellenlange zweite Ableitung herauszuriechen,wenn gar nicht für Wendepunkt oder Krümmungsverhalten benötigt
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Zur Bestimmung eines hoch-, tief-, oder terassenpunkts (sattelpunkt bei euch) haben wir NIE die zweite ableitung dafür benutzt. Das ging anders mit der ersten Ableitung wesentlich einfacher,indem man geschaut hat,wie f'(x) bei einem x-Wert knapp rechts und knapp links vom Nullpunkt reagiert. Ist der x-Wert links vom Nullpunkt der ersten Ableitung kleiner Null und nach der ersten Ableitung größer Null,handelt es sich um einen Tiefpunkt. (bildlich gesprochen fällt der Graf zuerst und steigt danach,weil die erste Ableitung die Steigung angibt). Wenn es andersrum ist handelt es sich um einen hochpumpt (also erst über Null,dann unter Null) und wenn beide Vorzeichen gleich sind handelt es sich um einen terassenpunkt. Das Einzige was du dann noch beachten musst,ist,dass die nullstellen auch definiert sind. Ist doch unterm Strich viel einfacher,als nochmal ne ellenlange zweite Ableitung herauszuriechen,wenn gar nicht für Wendepunkt oder Krümmungsverhalten benötigt. Hab ich sowohl in meinem Mathe-abi so gemacht,als auch in der Mathe-Klausur im BWL Studium,auch wenns da der Prof so gelehrt hat,wie ihr es gerade so macht.
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Käptn Hook f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2 -> f'(x)=4x³-12x²+12x-4 Man kann da ausklammern, mein Fehler. Ja. Dann brauchen wir die Polynomdivision. Oder man hat einen Taschenrechner zur Verfügung.
Käptn Hook f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2 -> f'(x)=4x³-12x²+12x-4 Man kann da ausklammern, mein Fehler.
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Joo...so hätte ich auch abgeleitet.
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2 -> f'(x)=4x³-12x²+12x-4 Man kann da ausklammern, mein Fehler.
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt "substituieren"? Diesen Begriff höre ich zum ersten mal. Ich bitte euch, bleiben wir doch beim grundlegenden Niveau, denn unsere Abi-Klausur wird dementsprechend auch sein.
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Edit: Ausklammern reicht.
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt OmegaPirat Und wie berechnest du dann z.B. die extremstellen von f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2 ? Ich würd' 1. Ableitung gleich 0 setzen sagen, aber ich habe das Gefühl, dass du auf etwas hinaus willst.
OmegaPirat Und wie berechnest du dann z.B. die extremstellen von f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2 ?
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Big ? Sicher. Versteh' mich nicht falsch, ich will nur nicht verwirrt werden. Ich will bei dem bleiben, was ich kenne und das hat Eisuke ganz gut erklärt. Und wie berechnest du dann z.B. die extremstellen von f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2 ?
Big ? Sicher. Versteh' mich nicht falsch, ich will nur nicht verwirrt werden. Ich will bei dem bleiben, was ich kenne und das hat Eisuke ganz gut erklärt.
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt OmegaPirat Auch auf einem grundlegenden Niveau sollte man wissen was man tut Sicher. Versteh' mich nicht falsch, ich will nur nicht verwirrt werden. Ich will bei dem bleiben, was ich kenne und das hat Eisuke ganz gut erklärt.
OmegaPirat Auch auf einem grundlegenden Niveau sollte man wissen was man tut
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Big ? Ich hab' Mathe nur als grundlegendes Niveau...wollen wir auch dort bleiben? Auch auf einem grundlegenden Niveau sollte man wissen was man tut
Big ? Ich hab' Mathe nur als grundlegendes Niveau...wollen wir auch dort bleiben?
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Ich hab' Mathe nur als grundlegendes Niveau...wollen wir auch dort bleiben?
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Da hast du natürlich recht. Aber einige können es trotzdem nicht soweit herleiten weil die ja schon ab der zweiten Ableitung aufgeben. ^^
AW: Wendepunkt/Sattelpunkt Eisuke261990 Jop könnte man so erklären, aber es wäre so nicht für jeden verständlich, außer ihm liegt Mathe oder er hat ein Interesse dafür. Nunja. man muss nicht lange suchen, um Beispiele zu finden bei denen man die allgemeinere version anwenden muss. Es ist nämlich so. Wenn f'(x)=0 und f''(x)>0, liegt ein minimum vor. der umkehrschluss gilt nicht, d.h. wenn ein minimum vorliegt, gilt nicht notwendigerweise f'(x)=0 und f''(x)>0 Beispiel f(x)=x^4. es liegt bei x=0 ein minimum vor. es gilt aber f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0 oder f(x)=x^5 es liegt bei x=0 ein Sattelpunkt. Es gilt aber f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f''''(0)=0 erst die fünfte ableitung ist von null verschieden. Man muss also nicht einmal exotische funktionen betrachten, um die von mir genannte verallgemeinerung anwenden zu müssen. die hier genannten funktionen sind einfache polynomfunktionen.
Eisuke261990 Jop könnte man so erklären, aber es wäre so nicht für jeden verständlich, außer ihm liegt Mathe oder er hat ein Interesse dafür.
Foren-Regeln
