Thema: Bräuchte mal Hilfe in [Aussagenlogik]

So also folgende Aufgabe:


So wenn ich das richtig verstanden habe ist ja bei der ersten Form

Für Alle x aus G1 und für Alle y aus G1 ist x=y wahr

zweites:

Für alle x aus G2 ist (x>0) ^ (x<0) wahr

leider komm ich bei der Fragestellung was ich da nun explizit verändern soll, sowie bei der dritten Form nicht so wirklich weiter...

Ich mein bem dritten sehe ich zwar Existenzquantor der dafür steht das mind. EIN x aus G3 existiert, aber ich weiß nich was ich da mit dem Alquantor anstellen soll..

Wäre über Hilfe recht froh x)

Danke im Vorraus

Hallo
Diese drei Aussagen sind sicherlich nicht für alle Mengen wahr. Die Aufgabe ist es jeweils eine Menge zu finden für die die Aussage stimmt

Die erste Aussage gilt zum Beispiel nicht für die Menge G1={1, 2}
Ich könnte jetzt x=1 und y=2 wählen. Nach der AUssage wäre dann 1=2, was falsch ist
Die Aussage ist aber für alle einelementige Mengen gültig. Zum Beispiel G1={1}
Dann kannst du nur x=1 und y=1 wählen. Dann ist 1=1.

Die zweite Aussage find ich komisch. Welche zahl ist gleichzeitig sowohl positiv als auch negativ? Mir fällt da nur die leere Menge G2={} ein.

Für G3 nehme ich mal als Beispiel die Menge G3={1,2}
Du musst jetzt schauen, ob es in dieser menge wenigstens ein x gibt, so dass besagte Ungleichung für alle y erfüllt ist.
Und so ein x gibt es. Zum Beispiel x=1
Dann gilt nämlich für die ungleichung
0<=y<=2 (<= bedeutet kleinergleich)
Diese gleichung muss nun für alle elemente von G3 erfüllt werden,also sowohl für y=1 als auch für y=2 und das ist erfüllt. Du kannst aber noch viel größere mengen finden, so dass die aussage stimmt.

Also verstehe ich das richtig, dass ich bei der ersten Aussage jede natürliche zahl nehmen könnte? Sprich G1={1} / G1={5} G1={100} solange es nur 1 ist, damit die bedingung, dass x = y ist erfüllt wird? Dann könnte ich doch auch theoretisch G1 {N} machen oder?

Shakki

Also verstehe ich das richtig, dass ich bei der ersten Aussage jede natürliche zahl nehmen könnte? Sprich G1={1} / G1={5} G1={100} solange es nur 1 ist, damit die bedingung, dass x = y ist erfüllt wird? Dann könnte ich doch auch theoretisch G1 {N} machen oder?

Du könntest auch eine reelle Zahl nehmen. Dann würde die Gleichung immernoch stimmen. Nur weiß ich jetzt nicht, wie man das formal richtig aufschreibt.
Vllt. G1 ε {R} ? Oder schließt das alle bereits alle möglichen Kombinationen mit ein (also nicht ein-elementig)?
Ob man das auch auf die komplexe Zahlen ausdehnen kann, weiß ich nicht.

Kimmel

Du könntest auch eine reelle Zahl nehmen. Dann würde die Gleichung immernoch stimmen. Nur weiß ich jetzt nicht, wie man das formal richtig aufschreibt.
Vllt. G1 ε {R} ? Oder schließt das alle bereits alle möglichen Kombinationen mit ein (also nicht ein-elementig)?
Ob man das auch auf die komplexe Zahlen ausdehnen kann, weiß ich nicht.

Ich glaube nicht, dass die Notation so richtig ist. R repräsentiert eine Menge und {} ist die mengenklammer. Die Mengenklammer dient dazu um elemente zu definieren. Dabei hat sie diese form
{...|...}
links von | taucht der repräsentant der Elemente einer vordefinierten Menge wie R auf, rechts von | werden zusätzliche bedingungen an die elemente gestellt.
Ein Beispiel wäre
{x ε R| x>1]
In Worten liest sich das so: "Die Menge aller x aus R mit x>1"
Eine alternative darstellung wäre auch {x| x ε R und x>1}
Das liest sich so "Die Menge aller x mit x aus R und x>1"
Ich glaube in diesem Fall schreibt man die Menge so
{x ε R}

Es bedeutet, dass die menge ein element enthält, welches eine reelle zahl ist (also die bedingung ist dass x reell sein soll)
Auf keinen fall geht
{R}. Das ergibt keinen Sinn.

Die komplexen Zahlen kann man auch verwenden, weil zwischen komplexen zahlen eine gleichheit definiert ist. Zwei komplexe zahlen sind gleich, wenn Realteil und Imaginärteil gleich sind. Ebenso könnte man dies auch auf Quaternionen verallgemeinern. Man könnte aber auch ganz andere elemente nehmen. Mengen müssen ja nicht nur aus Zahlen bestehen. Zum beispiel können funktionen auch elemente einer menge sein.
Zum Beispiel ginge
{x ε C^k}. das bedeutet, dass die menge eine k-fach stetig differenzierbare funktion enthält
bspw {f | f: x->x²}
natürlich besteht gleichheit zwischen den funktionen f(x)=x² und g(x)=x²
Wenn mans ganz allgemein haben will, würd ich es so formulieren
A sei eine beliebige Menge
Dann gilt die Aussage für alle Mengen mit {x ε A}

Edit:
Rein von der Logik her müsste {R}=R gelten
Schließlich können die elemente einer menge mengen sein (siehe bspw. die Potenzmenge). {R} ist eine menge, die als einziges element die menge der reellen zahlen enthält und damit ist sie identisch zur menge der reellen zahlen.

hallo

ich bin mal neugierig geworden und wollte fragen woher solche aufgaben kommen. studium?

Asmoo

hallo

ich bin mal neugierig geworden und wollte fragen woher solche aufgaben kommen. studium?

Natürlich im Studium. Im Physikstudium hatte ich das nicht, aber es kommt sicherlich in Mathematik- und Informatikstudiengängen, nämlich dann wenn es um Formalsprachen (das ist kein schreibfehler und soll nicht "Formelsprachen" heißen) geht, vor. Nebenbei taucht das auch in einem Philosophiestudium auf, wo man es vielleicht gar nicht vermutet.

Rein von der Logik her müsste {R}=R gelten
Schließlich können die elemente einer menge mengen sein (siehe bspw. die Potenzmenge). {R} ist eine menge, die als einziges element die menge der reellen zahlen enthält und damit ist sie identisch zur menge der reellen zahlen.

Wenn wir schon bei Haarspalterei sind
R enthält {} als Teilmenge.

Mal ehrlich, ob {R} oder R ist wurst. Alles nur Konvention. Es hat sich eben eingebürgert ausgezeichnete Mengen mit Doppelstrichen und Großbuchstaben zu versehen, und Ausnahmen, wie endlich-abzählbare Mengen mit geschweiften Klammern. Einen logischen Sinn dahinter suchen zu wollen ist wie mit Kanonen auf Spatzen schießen. Die Idee lieb und nett, der Aufwand groß. Leicht erkennbar an dem Ausmaß deines Beitrags

Danke ihr habt mir bis dato sehr geholfen... jedoch kommt schon gleich das nächste Problem... (Das Tempo in den Vorlesungen is doch einiges krasser als ich dachte...)
Hab zwar auch im Internet geschaut aber irgendwie sind die Erklärungen dort alle fürn .... die verwirren einen nur noch mehr -.-
Bis zu den Klausuren is zwar noch lang hin, aber ich möchte es gern vorher verstehen bevor alles auf einmal kommt... und ich glaub hier gibts doch einige leute die mir auf die Sprünge helfen könnten...

Folgende Aufgabe:


So und zwar soll man zeigen das für alle mengen a,b Teilmenge von G gilt...

AΔB = BΔA
(A\B) U (B\A) = (B\A) U (A\B)

so bis dahin komm ich... aber was jetzt in der obrigen Fragestellung gefragt wird weiß ich nich mehr weiter :X

ARRMATEY

Wenn wir schon bei Haarspalterei sind
R enthält {} als Teilmenge.

Mal ehrlich, ob {R} oder R ist wurst. Alles nur Konvention. Es hat sich eben eingebürgert ausgezeichnete Mengen mit Doppelstrichen und Großbuchstaben zu versehen, und Ausnahmen, wie endlich-abzählbare Mengen mit geschweiften Klammern. Einen logischen Sinn dahinter suchen zu wollen ist wie mit Kanonen auf Spatzen schießen. Die Idee lieb und nett, der Aufwand groß. Leicht erkennbar an dem Ausmaß deines Beitrags

Ich weiß nicht, was du mir damit sagen willst.
zunächst ist die leere Menge keine Teilmenge von R. Bei der Potenzmenge von R ist es dagegen schon so. Des Weiteren dient die geschweifte Klammer auch der Definition unendlicher Mengen. Z.B
{x|x ε R und x>1}
Im Allgemeinen hat das halt entweder diese Form
{Repräsentant der Elemente der Menge| Bedingungen an den Repräsentanten}
oder diese form
{element 1, element 2, ...}
Zweiteres ist halt eine auflistung aller elemente. Und in meinem Beitrag habe ich erklärt, dass es {x ε R } statt {R} heißen muss. Dass man ersteres statt zweiteres verwenden muss, ist keine Haarspalterei. {R} ist hier einfach falsch.
Leider kann man keine Liste zu R erstellen,weshalb ich das mal auf N reduziere.Dann entspricht {x ε N} einer einelementigen Menge mit einer bestimmten natürlichen Zahl, während {N}={{1, 2, 3, 4, 5, ...}} und da ist die klammer dann eine zuviel des guten. Anders sähe es bei solchen mengen aus {{1, 2}, {2, 3}}



@Shakki
Du kannst die Äquivalenz zweier Mengen zum Beispiel zeigen indem du ein elemente x nimmst, welches in der menge auf der linken seite der gleichung enthalten ist. du musst dann zeigen, dass es auch in der menge auf der rechten seite enthalten ist.

Ich mach es mal für die erste aufgabe vor:
Ich nehme ein x mit
x ε ((A\B) U (B\A)) <=>x ε (A\B) oder x ε(B\A) <=> x ε (B\A) oder x ε (A\B) <=> x ε ((B\A) U (A\B))
und damit bist du fertig

Edit:
Ach übrigens
die b) ist nicht so einfach
Aber hier ein Tipp:
Stell die Menge A U B als kombination mehrerer disjunkter mengen dar.
Bei der b) wirst du sicherlich noch Hilfe brauchen. Die Gleichung ist übrigens in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig und stellt dort eine Verallgemeinerung eines der Kolmogorov-Axiome dar.

Was ich damit sagen will:

Was ich mit Haarspalterei meinte ist: du übertreibst, oft. Es scheint so, als ob du ständig darum bemüht wärst alles und jedem zu zeigen wieviel du kannst. Most recently deine kleine Abhandlung darüber warum {R} unsinn ist.

zunächst ist die leere Menge keine Teilmenge von R

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Das die leere Menge ebenfalls Teilmenge der Potenzmenge P(R) ändert daran nichts.

Des Weiteren dient die geschweifte Klammer auch der Definition unendlicher Mengen. Z.B
{x|x ε R und x>1}

Das meinte ich. Ich habe ausdrücklich gesagt

wie endlich-abzählbare Mengen mit geschweiften Klammern

. Es ist ein Akt der Unhöflichkeit gesagtes zu ignorieren und zu versuchen soviel Wissen wie möglich in einen Beitrag zu pampen.Ich war/bin mir durchaus bewusst das geschweifte Klammern auch für unendliche Mengen verwendet werden.
Und jetzt nochmal zu unserem kleinen Missverständnis.
Wir haben, wie du oft genug gesagt hast, 2 Möglichkeiten für Mengennotation: die Aussagenform und die Aufzählung.
DIe geschweiften Klammern setzten wir aus einem ästhetisch-übersichtlichen Grund (und nicht wie du gerne glauben würdest aus einem aussagenlogischen Grund).Normalerweise verwenden wir runde oder eckige Klammern um zu zeigen das etwas zusammengehört. Es kann aber passieren das Elemente einer Menge Terme darstellen die ebenfalls geklammert werden. Um nicht durcheinander zu kommen mit runden und eckigen Klammern nutzt man geschweifte Klammern.
Niemand kann mit recht behaupten die Aussage A=[x € U|p(x)] sei falsch nur weil keine geschweifte Klammern benutzt wurden. Wir haben uns drauf geeinigt das es möglichst alle so machen, mehr nicht. Ein Matheprof würde wahrscheinlich sagen das ist schlichtweg ein Vokabelfehler, zieht dir einen Punkt für die Darstellung ab und das wars. Er würde niemals auf die Idee kommen und sagen die Verwendung von eckigen Klammern sei logisch nicht richtig. Selbiges gilt für Aussagen der Form A={R}. Es ist eine unübliche Schreibweise, aber nicht logisch falsch bzw unlogisch.

Das wir beide ziemlich um den heißen Brei reden sollte jedem klar sein.
Meine Kritik an dir als Forenuser ist einfach die folgende ( und das hab ich mit meinem Beitrag versucht zu vermitteln, siehe Haarspalterei): Wenn du eine seitenlange Abhandlung (überspitzt gesagt) über den (logischen) Sinn und Unsinn einer Konvention hälst, dann trägt das nicht zur Aufklärung der Ursprungsfrage bei. Stattdessen schreibst du was von Quaterionen, der Definition einer Gleichheit unter komplexen Zahlen oder das Funktionen Elemente einer Menge sein können.Alles wahr und schön, aber bis auf Selbstprofilierung (und das werfe ich dir aufgrund jahrelanger stiller Mitleserschaft bei forumla vor) und das erzeugen von Verwirrung ist da nicht immer viel bei.
Deshalb einfach ein Tipp von mir an dir der absolut nicht böse gemeint ist ( auch wenn ich etwas wütend klinge). Schweif nicht immer so krass ab. Du weißt viel, du bist intelligent, dass weiß mittlerweile jeder langeingesessene forumla User, aber du neigst zu starker Selbstprofilierung (bewusst oder unbewusst ist egal) die es manchmal schwer macht die wirklich hilfreichen DInge aus deinen Posts zu filtern. Das passiert dir nicht immer, aber oft.


Ich weiß, dass ich gerade das tue was ich dir vorwerfe, aber manchmal muss man tatsächlich ausschweifend werden um den Nagel auf den Kopf zu treffen.

ARRMATEY

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Das die leere Menge ebenfalls Teilmenge der Potenzmenge P(R) ändert daran nichts.

Ok blöder Fehler von mir

Grund).Normalerweise verwenden wir runde oder eckige Klammern um zu zeigen das etwas zusammengehört. Es kann aber passieren das Elemente einer Menge Terme darstellen die ebenfalls geklammert werden. Um nicht durcheinander zu kommen mit runden und eckigen Klammern nutzt man geschweifte Klammern.
Niemand kann mit recht behaupten die Aussage A=[x € U|p(x)] sei falsch nur weil keine geschweifte Klammern benutzt wurden.

Ich versteh immer noch nicht was du willst.
Es ging darum, wie man mit der Mengenklammer eine einelementige Menge mit beliebigem reellen Eintrag darstellt. Es wurde dieser Ausdruck vorgeschlagen {R}. Das ist aber definitiv falsch. Ich habe dafür diese Notation vorgeschlagen {x ε R}.
Dann habe ich nur eine Anmerkung geschrieben, was denn {R} bedeuten mag, um zu zeigen, dass man damit definitiv nicht eine einelementige Menge mit einer einzigen reellen zahl darstellt. Ob dabei nun eckige oder geschweifte Klammern verwendet werden, ist dabei egal, wobei man sich natürlich an Konventionen halten sollte.

Aussagen der Form A={R}. Es ist eine unübliche Schreibweise, aber nicht logisch falsch bzw unlogisch.

Ich habe nie gesagt, dass es diese Menge nicht gibt, nur ist das eine Menge, die als element die menge der reellen Zahlen beinhaltet. Sie repräsentiert nicht Mengen wie {1}, {1/2}, {10/3}...

Das wir beide ziemlich um den heißen Brei reden sollte jedem klar sein.
Meine Kritik an dir als Forenuser ist einfach die folgende ( und das hab ich mit meinem Beitrag versucht zu vermitteln, siehe Haarspalterei): Wenn du eine seitenlange Abhandlung (überspitzt gesagt) über den (logischen) Sinn und Unsinn einer Konvention hälst, dann trägt das nicht zur Aufklärung der Ursprungsfrage bei.

Und wo habe ich jetzt über die Konvention "geschweifte Klammer" schwadroniert?

Stattdessen schreibst du was von Quaterionen, der Definition einer Gleichheit unter komplexen Zahlen oder das Funktionen Elemente einer Menge sein können.Alles wahr und schön, aber bis auf Selbstprofilierung (und das werfe ich dir aufgrund jahrelanger stiller Mitleserschaft bei forumla vor) und das erzeugen von Verwirrung ist da nicht immer viel bei.

Jeder Schüler weiß was eine Funktion ist und es ist wohl kein weiter Schritt von dort aus bestimmte Funktionen zu einer Menge zusammenzufassen. Ich wollte nur zeigen, dass man nicht nur langweilige Zahlen betrachten muss. Außerdem studiert der Threadersteller und da ist es selbstverständlich, dass man auch mal über Funktionenmengen spricht. Weiterhin ist in der Aufgabe nicht die Rede davon, dass Zahlen betrachtet werden müssen. Man könnte die Aufgabe auch mit Funktionenmengen lösen. Die komplexen Zahlen habe ich erwähnt, weil Kimmel sich gefragt hat, ob man dies auch auf komplexe Zahlen ausdehnen kann und ja man kann. Die Quaternionen hätte ich weglassen können. Das ist halt ein Beispiel für eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen, aber gut die kennt nicht jeder.
Zusammenfassend würde ich sagen, dass ich die Bekanntheit von Funktionen voraussetzen kann und komplexe Zahlen hier offenbar bekannt sind, da Kimmel danach gefragt hat.

Deshalb einfach ein Tipp von mir an dir der absolut nicht böse gemeint ist ( auch wenn ich etwas wütend klinge). Schweif nicht immer so krass ab. Du weißt viel, du bist intelligent, dass weiß mittlerweile jeder langeingesessene forumla User, aber du neigst zu starker Selbstprofilierung (bewusst oder unbewusst ist egal) die es manchmal schwer macht die wirklich hilfreichen DInge aus deinen Posts zu filtern. Das passiert dir nicht immer, aber oft.

Ich habe nicht die Absicht der Selbstprofilierung. Bei einer Selbstprofilierung würde ich wohl kaum über Funktionen und komplexen Zahlen reden, was so erstes Semester ist. Darüber erzähl ich aber jetzt nichts, sonst liegt der Verdacht noch näher.
Und ich weiß sehr wohl, dass ich es hier mit Studenten zu tun habe. Wären es Schüler, hätte ich auf die ein oder andere Ausführung verzichtet. Davon abgesehen, dass solche Aufgaben in der Schule unüblich sind.

Wenn ich einen Grundschüler vor mir habe antworte ich anders als wenn ich einen mittelstufenschüler als wenn ich einen Oberstufenschüler als wenn ich einen Studenten als wenn ich einen Professor vor mir habe. Ich denke ich habe angemessen, aber nicht ganz fehlerfrei, für einen Studenten in den ersten Semestern geantwortet, jedoch unangemessen für einen Schüler.
Sollte irgendwas unklar gewesen sein, können ja auch Rückfragen erfolgen.

Danke Omega bisher helfen mir deine Erklärungen sehr.

Jedoch habe ich noch eine Frage zur 2. Aussage von a).

A∆A={}

Laut oben genannter Formel müsste die Differenz A∆A = (A\A)U(A\A) = {} sein oder?

Also x ε ((A\A)U(A\A)) <=> x ε (A\A) <=> x ε {}

Is das korrekt ? (Irgendwie glaub ich nich drann xD)

Shakki

Danke Omega bisher helfen mir deine Erklärungen sehr.

Jedoch habe ich noch eine Frage zur 2. Aussage von a).

A∆A={}

Laut oben genannter Formel müsste die Differenz A∆A = (A\A)U(A\A) = {} sein oder?

Also x ε ((A\A)U(A\A)) <=> x ε (A\A) <=> x ε {}

Is das korrekt ? (Irgendwie glaub ich nich drann xD)

Ja das ist richtig, wenn du trivialerweise ausnutzen darfst, dass A U A=A

OmegaPirat

Edit:
Ach übrigens
die b) ist nicht so einfach
Aber hier ein Tipp:
Stell die Menge A U B als kombination mehrerer disjunkter mengen dar.
Bei der b) wirst du sicherlich noch Hilfe brauchen. Die Gleichung ist übrigens in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig und stellt dort eine Verallgemeinerung eines der Kolmogorov-Axiome dar.

Also wenn ich disjunkte Mengen nehmen soll, das sind ja mengen die sich nicht überschneiden, heißt A hat Mengen die nicht in B auftauchen und umgekehrt... z.B. A {1,2,5} und B {3,4,6}.

Unten in der Aufgabe steht auch wenn die Mengen M1 und M2 (ist ja wie A,B in der (b) oder?) nichts gemeinsam haben ist |M1 U M2| = |M1|+|M2| oder wie jetz oben steht ist es A und B..

Jedoch weiß ich noch nicht so wirklich wie ich das darstellen soll :S Muss ich jetzt eben solche Mengen (ausdenken) oder wie läuft das? x.x

Shakki

Also wenn ich disjunkte Mengen nehmen soll, das sind ja mengen die sich nicht überschneiden, heißt A hat Mengen die nicht in B auftauchen und umgekehrt... z.B. A {1,2,5} und B {3,4,6}.

Ja das ist richtig. Man sagt auch, dass die beiden Mengen elementfremd sind.

Unten in der Aufgabe steht auch wenn die Mengen M1 und M2 (ist ja wie A,B in der (b) oder?) nichts gemeinsam haben ist |M1 U M2| = |M1|+|M2| oder wie jetz oben steht ist es A und B..

Genau. Die Gleichung gilt unter der Voraussetzung, dass M1 und M2 disjunkt sind. Die Gleichung lässt sich auf nicht notwendig disjunkte Mengen verallgemeinern. Diese Gleichung ist in der Aufgabe angegeben und die Aufgabe ist es die Gültigkeit dieser Gleichung nachzuweisen.

Jedoch weiß ich noch nicht so wirklich wie ich das darstellen soll :S Muss ich jetzt eben solche Mengen (ausdenken) oder wie läuft das? x.x

Du musst ja die angegebene Regel
|M1 U M2| = |M1|+|M2| verwenden. Diese Regel kannst du aber nicht direkt anwenden, da A und B nicht notwendig disjunkt sind.
Stattdessen kannst du versuchen A U B als Vereinigungsmenge mehrerer disjunkter Mengen darzustellen, worauf du schließlich besagte Regel anwenden kannst
Du kannst es dir ja zunächst selber überlegen. Im Spoilerkasten schreib ich schonmal eine Möglichkeit hin:

Spoiler öffnen

Es gilt:
A U B=(A\B) U (A ∩ B) U (B\A)
A\B, B\A und A ∩ B sind disjunkt. Hierauf kannst du besagte Regel anwenden. Danach bist du noch nicht ganz fertig. Aber ich belasse es zunächst dabei.

Hmm ehrlich gesagt bin ich wieder äßerst verwirrt...muss ich das auch wieder mit x € beweisen?

Und wieso haben die Aufgaben | | drinne... ich glaube mir ist entgangen was die Striche zu bedeuten haben :/

Shakki

Hmm ehrlich gesagt bin ich wieder äßerst verwirrt...muss ich das auch wieder mit x € beweisen?

Und wieso haben die Aufgaben | | drinne... ich glaube mir ist entgangen was die Striche zu bedeuten haben :/

Eine Menge A hat eine Mächtigkeit |A|. Im Falle endlicher Mengen entspricht |A| der Anzahl der Elemente dieser Menge.
Ein Beispiel:
gegeben sei die Menge A={1, 2, 3}
Dann ist |A|=3, da die Menge 3 Elemente hat.
Weiterhin nehme ich mal eine weitere menge B={2, 3, 4, 5} und wende die zu beweisende regel an
Es gilt dann A U B = {1, 2, 3, 4, 5} und A ∩ B={2, 3}
Dann ist |A|=3, |B|=4, |A U B|=5 und |A ∩ B|=2
Nach der Regel gilt:
|A U B|=|A|+|B|-|A ∩ B|
Mal schauen ob das für diesen fall stimmt:
5=3+4-2=5
stimmt also. Jetzt muss man dies natürlich im Allgemeinen zeigen.

Übrigens haben auch unendliche Mengen eine Mächtigkeit. Nur kann man da die Elemente nicht so einfach abzählen. Ich weiß nicht, ob dir die Begriffe abzählbar und überabzählbar unendlich geläufig sind. Vielleicht weißt du auch was Kardinalzahlen sind. Ich denke aber in diesem Fall sind nur endliche Mengen gemeint und für diese ist der Begriff der Mächtigkeit gleichzusetzen mit dem Begriff der Anzahl.


Die Beziehung im Spoilerkasten musst du unter Umständen wie üblich mit x element von ... nachweisen.

OmegaPirat

Eine Menge A hat eine Mächtigkeit |A|. Im Falle endlicher Mengen entspricht |A| der Anzahl der Elemente dieser Menge.
Ein Beispiel:
gegeben sei die Menge A={1, 2, 3}
Dann ist |A|=3, da die Menge 3 Elemente hat.
Weiterhin nehme ich mal eine weitere menge B={2, 3, 4, 5} und wende die zu beweisende regel an
Es gilt dann A U B = {1, 2, 3, 4, 5} und A ∩ B={2, 3}
Dann ist |A|=3, |B|=4, |A U B|=5 und |A ∩ B|=2
Nach der Regel gilt:
|A U B|=|A|+|B|-|A ∩ B|
Mal schauen ob das für diesen fall stimmt:
5=3+4-2=5
stimmt also. Jetzt muss man dies natürlich im Allgemeinen zeigen.

Übrigens haben auch unendliche Mengen eine Mächtigkeit. Nur kann man da die Elemente nicht so einfach abzählen. Ich weiß nicht, ob dir die Begriffe abzählbar und überabzählbar unendlich geläufig sind. Vielleicht weißt du auch was Kardinalzahlen sind. Ich denke aber in diesem Fall sind nur endliche Mengen gemeint und für diese ist der Begriff der Mächtigkeit gleichzusetzen mit dem Begriff der Anzahl.


Die Beziehung im Spoilerkasten musst du unter Umständen wie üblich mit x element von ... nachweisen.

Das sieht jetzt schon wieder logischer und besser aus

Wie stelle ich das dann dar? Kann ich das wie folgt machen:

x ε |A u B| <=> x ε (|A| + |B|) - x ε |A ∩ B|)

??

p.s. danke für deine Hilfsbereitschaft und Mühe

Shakki

Wie stelle ich das dann dar? Kann ich das wie folgt machen:

x ε (A u B) <=> x ε (A) + (B) - x ε (A ∩ B)

Ne das ist quatsch. Du sollst nicht zeigen, dass A u B=A + B - A ∩ B, sondern dass
|A u B|=|A| + |B| - |A ∩ B|
Was die Betragsstriche hier bedeuten, habe ich ja schon gesagt.
Ich habe ja geschrieben, dass sich A U B als Vereinigungsmenge disjunkter Mengen darstellen lässt, nämlich
A U B=(A\B) U (A ∩ B) U (B\A)
Darauf kannst du die Regel |M1 U M2| = |M1|+|M2| anwenden, nämlich:
|A U B|=|(A\B) U (A ∩ B) U (B\A)|=|A\B| + |A ∩ B|+ |B\A|
Nun gilt außerdem A=(A\B) U (A ∩ B)
A\B und A ∩ B sind disjunkt, weshalb sich darauf wieder die regel anwenden lässt, also
|A|=|A\B| + |A ∩ B|
Analog findet man
|B|=|B\A| + |A ∩ B|

Jetzt musst du nur noch die drei Gleichungen
|A U B|=|A\B| + |A ∩ B|+ |B\A|
|A|=|A\B| + |A ∩ B|
|B|=|B\A| + |A ∩ B|

geeignet kombinieren und du erhälst die zu beweisende Aussage.