Thema: Wendepunkt/Sattelpunkt

Olá, Mathe-Cracks!

Die Frage mag zwar ziemlich banal klingen (selbst für mich, da ich mich für ziemlich gut in Mathe halte), aber ich habe gerade einen Hänger.
Ich bereite mich gerade auf mein Mathe-Abi mit ein paar Übungsaufgaben vor und dort ging es darum einen Sattelpunkt zu bestimmen.

Jetzt zu meiner Frage:
Um eine Wendestelle zu bestimmen muss man sicher gehen, dass f''(x)=0 und f'''(x)=/=0 ist, richtig?
Und wie schaut es beim Sattelpunkt aus? In der Lösung steht nämlich auch f''(x)=0 und f'''(x)=/=0.
Und deshalbt wundere ich mich gerade...wo ist der Unterschied? Wie stelle ich fest, ob es eine Wendestelle oder ein Sattelpunkt (oder eher Sattelstelle?) ist?

Ich hab' echt gerade einen Hänger und ich werde wohl nicht in Ruhe weiterlernen können, bis diese "Kleinigkeit" gelöst ist...
Hoffentlich könnt ihr mir helfen. :>


Gruß,
Big ?

Hey Big

Also ich bin zwar bei weitem kein Mathegenie und es ist auch schon eine Weile her, dass ich mich mit diesem Thema beschäftigen musste, aber ich glaube mich zu erinnern, dass Wende- und Sattelpunkt Synonyme sind. Sprich: Beides dasselbe. Kann das sein?

Es gibt einen kleinen Unterschied.
Bei einem Wendepunkt ändert sich die Richtung des Graphen unmittelbar.
Ein Sattelpunkt hat noch diese waagerechte Tangente dazwischen. Weißt du was ich meine?

Im Prinzip richtig was eben gesagt von Esposito wurde: Sattelpunkte snid die Spezialfälle von Wendepunkten.

Hier siehst du einen typischen Wendepunkt:


Und hier siehst du einen typischen Sattelpunkt:


Fällt dir was auf?
Zu not noch etwas, was mal meine Mathelehrerin damals immer gesagt hatte: Ein Sattelpunkt ist im Prinzip ein HP, ein TP und ein WP ...

Sprich wenn bei der Formel f'(Xo) = 0 herauskommt, steht das normalerweise für einen HP oder TP;
wenn aber eben bei f''(Xo) = 0 herauskommt, ist es kein HP oder TP mehr und daher spricht man in solchen Fällen von einem Sattelpunkt. Um nun aber sicher zu gehen, dass es auch wirklich ein Sattelpunkt ist musst du eben wie beim Wendepunkt gucken ob f'''(Xo) =/= 0 ist.

f'(x)=0 ist die notwendige Bedingung die den Unterschied zur normalen Wendestelle macht.

EDIT: Eisuke war schneller.

Okay, Eisuke hat den Fall gelöst! :>
Herzlichen Dank!

allgemein könnte man das so formulieren

ist die erste von null verschiedene ableitung die (2n)-te ableitung (mit n als natürliche zahl), liegt ein extremum vor. Ist die (2n)-te ableitung negativ ist es ein maximum, ist sie positiv, handelt es sich um ein minimum.

ist die erste von null verschiedene Ableitung die (2n+1)-te ableitung handelt es sich um einen Sattelpunkt

Jop könnte man so erklären, aber es wäre so nicht für jeden verständlich, außer ihm liegt Mathe oder er hat ein Interesse dafür.

Eisuke hat da ein paar Erinnerungen bei mir hervorgerufen. Da war nämlich mal was....dass bei einem Sattelpunkt f'(x) und f''(x) =0 sind.

Eisuke261990

Jop könnte man so erklären, aber es wäre so nicht für jeden verständlich, außer ihm liegt Mathe oder er hat ein Interesse dafür.

Nunja. man muss nicht lange suchen, um Beispiele zu finden bei denen man die allgemeinere version anwenden muss.
Es ist nämlich so. Wenn f'(x)=0 und f''(x)>0, liegt ein minimum vor. der umkehrschluss gilt nicht, d.h. wenn ein minimum vorliegt, gilt nicht notwendigerweise f'(x)=0 und f''(x)>0
Beispiel
f(x)=x^4. es liegt bei x=0 ein minimum vor. es gilt aber f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0

oder f(x)=x^5
es liegt bei x=0 ein Sattelpunkt. Es gilt aber f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f''''(0)=0
erst die fünfte ableitung ist von null verschieden. Man muss also nicht einmal exotische funktionen betrachten, um die von mir genannte verallgemeinerung anwenden zu müssen. die hier genannten funktionen sind einfache polynomfunktionen.

Da hast du natürlich recht.
Aber einige können es trotzdem nicht soweit herleiten weil die ja schon ab der zweiten Ableitung aufgeben. ^^

Ich hab' Mathe nur als grundlegendes Niveau...wollen wir auch dort bleiben?

Big ?

Ich hab' Mathe nur als grundlegendes Niveau...wollen wir auch dort bleiben?

Auch auf einem grundlegenden Niveau sollte man wissen was man tut

OmegaPirat

Auch auf einem grundlegenden Niveau sollte man wissen was man tut

Sicher. Versteh' mich nicht falsch, ich will nur nicht verwirrt werden. Ich will bei dem bleiben, was ich kenne und das hat Eisuke ganz gut erklärt.

Big ?

Sicher. Versteh' mich nicht falsch, ich will nur nicht verwirrt werden. Ich will bei dem bleiben, was ich kenne und das hat Eisuke ganz gut erklärt.

Und wie berechnest du dann z.B. die extremstellen von f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2 ?

OmegaPirat

Und wie berechnest du dann z.B. die extremstellen von f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2 ?

Ich würd' 1. Ableitung gleich 0 setzen sagen, aber ich habe das Gefühl, dass du auf etwas hinaus willst.

Edit: Ausklammern reicht.

"substituieren"? Diesen Begriff höre ich zum ersten mal.
Ich bitte euch, bleiben wir doch beim grundlegenden Niveau, denn unsere Abi-Klausur wird dementsprechend auch sein.

f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2
->
f'(x)=4x³-12x²+12x-4

Man kann da ausklammern, mein Fehler.

Joo...so hätte ich auch abgeleitet.