Thema: Gebrochen-rationale Fkt.: Fkt. zum Graphen bestimmen

Hallo!
Ich hätte eine Frage... ich hoffe es sind Mathematiker anwesend, oder zumindest jemand der was von Mathe versteht.
Ich wollte fragen, wie man zu einem Graphen eine Funktion bestimmt. Was ich schon weiß:

Wenn schon mal weiß, dass 1/x zwei punktsymmetrische Kurven ergibt, die vom unendlichen kommen und wieder ins unendliche gehen, dann weiß ich, dass z.b. 1/(x-5) eine Verschiebung in positiver Richtung etlang der x-Achse ergibt.

Bei 3/(x-5) wird der Graph zusätzlich gestreckt. Aber mein Problem besteht darin, dass ich mich nicht mehr auskenne, wenn ich eine Fkt. zu einem Graphen betimmen muss, der noch ne Lücke hat und noch entlang der y-Achse verschoben werden muss...

Ich wäre dankbar für Hilfe!

Yondaime

Hallo!
Ich hätte eine Frage... ich hoffe es sind Mathematiker anwesend, oder zumindest jemand der was von Mathe versteht.
Ich wollte fragen, wie man zu einem Graphen eine Funktion bestimmt. Was ich schon weiß:

Wenn schon mal weiß, dass 1/x zwei punktsymmetrische Kurven ergibt, die vom unendlichen kommen und wieder ins unendliche gehen, dann weiß ich, dass z.b. 1/(x-5) eine Verschiebung in positiver Richtung etlang der x-Achse ergibt.

Bei 3/(x-5) wird der Graph zusätzlich gestreckt. Aber mein Problem besteht darin, dass ich mich nicht mehr auskenne, wenn ich eine Fkt. zu einem Graphen betimmen muss, der noch ne Lücke hat und noch entlang der y-Achse verschoben werden muss...

Ich wäre dankbar für Hilfe!

Erstmal muss man wie du es schon angedeutet hast, qualitativ den Funktionstyp überlegen.
Ist es eine hyperbolische, exponentielle, logarithmische, wurzel, Polynom ... Funktion?
In schulaufgaben ist der Funktionstyp meistens angegeben.
So grundsätzliche dinge sollte man schon erkennen, also ob man jetzt eher eine logarithmusfunktion oder exponentialfunktion vor sich liegen hat.
Symmetrische Betrachtungen wie Punktsymmetrie und Achsensymmetrie sind auch immer hilfreich. Funktionen die punktsymmetrisch zum ursprung sind gilt auch f(-x)=-f(x)
Für Funktionen, die achsensymmetrisch zum ursprung sind gilt f(x)=f(-x).

Graphen mit Lücken tauchen bei gebrochen-rationalen funktionen immer an stellen auf, an denen sowohl nenner als auch Zähler null werden.
wenn du z.B. eine Funktion der Form
f(x)=Z(x)/N(x) gegeben hast, so muss
gelten
Z(x_0)=0
N(x_0)=0 sofern die funktion an der stelle x_0 eine lücke hat.
bei gebrochen-rationalen funktionen sind die Funktionen Z(x) und N(x) Polynomfunktionen der Form Z(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0
und N(x)=b_nx^n+b_(n-1)x^(n-1)+...+b_1x+b_0
wenn du dir jetzt schon überlegt hast von welchem grad zähler und nenner der vorliegenden Funktion sind, so kannst du durch Z(x_0)=0
N(x_0)=0 zwei gleichungen mit jeweils n+m Parametern aufstellen.
Dann würden noch n+m-2 bedingungen fehlen, um die funktion eindeutig zu bestimmen. Durch eventuelle symmetrie kann man aber schon die hälfte aller parameter rausschmeißen

Die verschiebung entlang der y-achse ist ganz einfach.
addierst du zur funktion den wert a, so verschiebt sich die funktion um a einheiten entlang der y-achse
also
g(x)=f(x)+a

Vielen Dank schon mal für deine Antwort!

Könntest du mir aber ein konkretes Beispiel von einem Funktionsgraphen machen und anschließend die Fkt. dazu bestimmen (natürlich von gebrochen rationalen Fkt.) das wäre mehr das Problem. Ich tu mich schwer vom Graphen auf die Funktion zu kommen, wenn sie mal etwas ausgefallener ist. Zum Beispiel, wie würde die Fkt. zur angehängten Graphik lauten?

Könntest du das in Schritten erklären? - Danke!